\chapter{1986年，抛物方程的哈纳克估计及其在里奇流中的应用}
\author{丘成桐 \quad 李伟光}
\date{1986年}

	\begin{abstract}
		本文建立了抛物型偏微分方程的哈纳克(Harnack)不等式估计，这一成果为理查德·汉密尔顿(Richard Hamilton)提出的里奇流(Ricci flow)研究提供了关键分析工具。我们证明了在适当条件下，正解满足的时空积分不等式，这一结果推广了经典的极值原理，并为几何流中的奇点分析奠定了理论基础。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	在几何分析领域，抛物型偏微分方程扮演着核心角色。1986年，我们合作发表了关于抛物方程哈纳克估计的奠基性工作\cite{Yau-Li}，该研究直接促进了里奇流理论的发展，后者最终成为佩雷尔曼(Perelman)解决庞加莱猜想的关键工具。
	
	\section{主要结果}
	设$M$为紧致黎曼流形，考虑抛物型方程：
	\begin{equation}
		\frac{\partial u}{\partial t} = \Delta u + Q(x,t)u
	\end{equation}
	其中$\Delta$为拉普拉斯算子，$Q(x,t)$为有界函数。
	
	\begin{theorem}[哈纳克估计]
		存在仅依赖于流形几何的常数$C>0$，使得对任意正解$u(x,t)>0$，在时空区域$M\times [t_0,t_1]$上成立：
		\begin{equation}
			\sup_{x\in M} u(x,t_0) \leq C \inf_{x\in M} u(x,t_1) \exp\left( \frac{Cd^2}{t_1-t_0} + C(t_1-t_0)\sup|Q|\right)
		\end{equation}
		其中$d$为$M$的直径。
	\end{theorem}
	
	\section{里奇流中的应用}
	理查德·汉密尔顿在\cite{Hamilton}中发展的里奇流方程：
	\begin{equation}
		\frac{\partial g_{ij}}{\partial t} = -2R_{ij}
	\end{equation}
	其中$R_{ij}$为里奇曲率张量。我们的哈纳克估计为该方程提供了：
	
	\begin{itemize}
		\item 曲率张量的先验估计
		\item 奇点分析的理论框架
		\item 古代解(ancient solutions)的分类工具
	\end{itemize}
	
	\section{结论}
	本文建立的哈纳克不等式成为几何流分析中的标准技术，特别是在：
	
	\begin{enumerate}
		\item 控制解的长时间行为
		\item 理解奇点形成机制
		\item 构造适当的解延拓方法
	\end{enumerate}
	
	等方面发挥了不可替代的作用。
	
	\bibliographystyle{plain}
	\bibliography{references} % 假设的参考文献文件
	
	\begin{thebibliography}{9}
		\bibitem{Yau-Li} 
		Yau, S.-T., Li, P. (1986). On the parabolic kernel of the Schrödinger operator. Acta Mathematica, 156, 153-201.
		
		\bibitem{Hamilton}
		Hamilton, R. S. (1982). Three-manifolds with positive Ricci curvature. Journal of Differential Geometry, 17(2), 255-306.
	\end{thebibliography}
	